La proprietà principale è quella per cui il rapporto F(n )/ F(n-1) al tendere di n all'infinito tende al numero algebrico irrazionale chiamato sezione aurea, numero di Fidia o numero aureo. Viene così chiamato, perché le coppie di segmenti che lo genenerano producono insieme forme talmente armoniose e proporzionate (divina proporzione) da essere denominata, verso la fine dell’ottocento, “Sezione aurea” .
In geometria la sezione aurea di un segmento è quella parte del segmento che è medio proporzionale fra l’intero segmento e la parte di segmento rimanente.
Il rettangolo aureo è quella particolare figura in cui il lato maggiore e il minore stanno tra loro in un rapporto pari a Φ. Se si prova a sottrarre dal rettangolo di partenza un area pari al quadrato generato dal lato minore, si otterrà un nuovo rettangolo ancora una volta in proporzione aurea; togliendo ancora un quadrato dal rettangolo “figlio” con lo stesso procedimento, si otterrà nuovamente un rettangolo rimpicciolito del fattore Φ. Proseguendo, si otterranno dunque una serie di rettangoli sempre più piccoli, ma tutti simili.
Un modo per costruire questo tipo di rettangolo è quello di accostare in successione dei quadrati che abbiamo per lati i valori della successione di Fibonacci. In questo modo si creerà una successione di rettangoli sempre più vicini a quello aureo, ma è bene precisare che sarà sempre una approssimazione che non diventerà mai esatta: perché il rapporto aureo è un numero irrazionale, il che fa dei lati del rettangolo in esame due grandezze incommensurabili, per le quali, cioè, non esiste un sottomultiplo comune.
